TUTORIAL FINANZA QUANTITATIVA

Equazione di Black-Scholes Ora che abbiamo derivato il Lemma di Ito, siamo in grado di derivare l’equazione di Black-Scholes. Supponiamo di voler valutare un credito contingente europeo vanilla , su un asset variabile nel tempo , che maturerà a . Assumeremo che segua un moto browniano geometrico con tasso di crescita medio di e volatilità .

l Lemma di Ito è una componente chiave nell’Ito Calculus, utilizzato per determinare la derivata di una funzione dipendente dal tempo di un processo stocastico. Svolge il ruolo della regola della catena in un contesto stocastico, analogo alla regola della catena nel calcolo differenziale ordinario. Il Lemma di Ito è una pietra angolare della finanza quantitativa ed

Equazione Differenziale Stocastica Il modello usuale per l’evoluzione temporale del prezzo di un asset è dato dal moto browniano geometrico, rappresentato dalla seguente equazione differenziale stocastica: Notare che i coefficienti e , che rappresentano rispettivamente la deriva e la volatilità dell’asset, sono entrambi costanti in questo modello. In modelli più sofisticati possono essere fatti per essere funzioni di ,

Il precedente articolo sul moto browniano e il processo Wiener ha introdotto il moto browniano standard, come mezzo per modellare i percorsi dei prezzi degli asset. Tuttavia, un moto browniano standard ha una probabilità di essere negativo diversa da zero. Questa non è chiaramente una proprietà condivisa da asset del mondo reale: i prezzi delle azioni non

Abbiamo già descritto la logica per il calcolo stocastico per quanto riguarda la finanza quantitativa. Sono inoltre state definite le proprietà di Markov e di Martingale. In entrambi gli articoli è stato affermato che il moto browniano avrebbe fornito un modello per il percorso del prezzo di un asset nel tempo. In questo articolo verrà definito formalmente il moto browniano

Per definire formalmente il concetto di moto browniano e utilizzarlo come base per un modello dei prezzi degli asset, è necessario definire le proprietà di Markov e di Martingale. Queste forniscono un’intuizione su come si comporterà il prezzo di un asset nel tempo. La proprietà di Markov afferma essenzialmente che un processo stocastico “non ha memoria”, cioè la

Il calcolo stocastico è l’area della matematica che si occupa dei processi contenenti una componente stocastica e consente quindi la modellazione di sistemi casuali. Molti processi stocastici si basano su funzioni continue, ma in non differenziabili in nessun punto. Quindi si esclude le equazioni differenziali che richiedono l’uso di termini derivati, poiché non possono essere definiti su