Modello a media mobile (MA) di ordine q

In questa lezione, però, introduciamo il modello a media mobile di ordine q, noto come MA(q). Il Modello a media mobile (MA) rappresenta un componente del più generale modello ARMA, e dobbiamo comprenderlo bene prima di procedere.

Nella precedente lezione descriviamo il modello autoregressivo di ordine p, noto anche come modello AR(p). Lo introduciamo come un’estensione del modello della random walk, con l’obiettivo di spiegare la correlazione seriale aggiuntiva nelle serie temporali finanziarie.

Alla fine comprendiamo che questo approccio non riesce a catturare completamente l’autocorrelazione presente nelle serie temporali finanziarie. Questo accade principalmente perché gli asset finanziari presentano eteroschedasticità condizionale, ossia non risultano stazionari e attraversano fasi di “varianza variabile” o clustering di volatilità, che il modello AR(p) non riesce a considerare.

Nelle prossime lezioni approfondiamo i modelli ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average), insieme ai modelli eteroschedastici condizionali delle famiglie ARCH e GARCH. Questi modelli ci aiutano a compiere i primi tentativi realistici di prevedere i prezzi degli asset.

Modello a Media Mobile (MA) di ordine q

Fondamento logico

Un modello a media mobile (MA) si avvicina concettualmente al modello autoregressivo, ma invece di combinare linearmente i valori passati della serie temporale, combina linearmente i termini passati del rumore bianco.

In pratica, questo significa che il modello MA utilizza direttamente gli “shock” casuali del rumore bianco per determinare ogni valore attuale. Al contrario, un modello AR(p) considera questi “shock” solo indirettamente tramite la regressione ai valori passati della serie.

Una differenza fondamentale consiste nel fatto che il modello a media mobile (MA) prende in considerazione solo gli ultimi “q” shock per ogni specifico modello MA(q), mentre il modello AR(p) include tutti gli shock passati, anche se con importanza decrescente.

Definizione

Modello a media mobile dell’ordine q

Consideriamo un modello di serie storica \(\{x_t\}\) come un modello a media mobile di ordine q, MA(q), se:

\(\begin{eqnarray}x_t = w_t + \beta_1 w_{t-1} + \ldots + \beta_q w_{t-q}\end{eqnarray}\)

Dove \(\{ w_t \}\) rappresenta il rumore bianco, con \(E(w_t) = 0\) e varianza \(\sigma^2\).

Applicando l’operatore di spostamento all’indietro, B (come spiegato nella lezione precedente), possiamo riscrivere il modello come funzione \(\phi\) di B:

\(\begin{eqnarray} x_t = (1 + \beta_1 {\bf B} + \beta_2 {\bf B}^2 + \ldots + \beta_q {\bf B}^q) w_t = \phi_q ({\bf B}) w_t \end{eqnarray}\)

Utilizziamo la funzione \(\phi\) anche nelle prossime lezioni.

Proprietà del secondo ordine

Come nel modello AR(p), anche nel modello MA(q) la media del processo è pari a zero. Questo perché otteniamo la media sommando le medie dei termini del rumore bianco, che risultano tutti uguali a zero.

\(\begin{eqnarray}\text{Media:} \enspace \mu_x = E(x_t) = \sum^{q}_{i=0} E(w_i) = 0 \end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray} \text{Varianza:} \enspace \sigma^2_w (1 + \beta^2_1 + \ldots + \beta^2_q) \end{eqnarray}\)

\(\text{ACF:} \enspace \rho_k = \left\{\begin{aligned} &1 && \text{if} \enspace k = 0 \\ &\sum^{q-k}_{i=0} \beta_i \beta_{i+k} / \sum^q_{i=0} \beta^2_i && \text{if} \enspace k = 1, \ldots, q \\ &0 && \text{if} \enspace k > q \end{aligned} \right.\)

Dove \(\beta_0 = 1\)

Ora generiamo alcuni dati simulati e li utilizziamo per costruire i correlogrammi. In questo modo rendiamo la formula precedente più concreta.