Modello Autoregressivo Integrato a Media Mobile ARIMA(p, d, q)

In questa lezione introduciamo un’estensione del modello ARMA: il modello autoregressivo integrato a media mobile, ovvero il modello ARIMA(p,d,q). Consideriamo il modello ARIMA quando analizziamo serie non stazionarie, che si presentano in presenza di tendenze stocastiche.

Nelle precedenti lezioni abbiamo analizzato in dettaglio i modelli AR(p), MA(q) e ARMA(p,q). Abbiamo creato set di dati simulati, adattato i modelli per stimarne i parametri e infine applicato queste tecniche ai dati dei titoli finanziari.

Introduzione

Durante questo corso sviluppiamo costantemente lo studio delle serie temporali attraverso concetti come correlazione seriale, stazionarietà, linearità, residui, correlogrammi, simulazione, adattamento, stagionalità, eteroschedasticità condizionale e verifica delle ipotesi.

Finora non abbiamo generato previsioni dai nostri modelli e quindi non abbiamo creato un sistema di trading o una curva di equity.

Approfondiamo ARIMA in questa lezione e ci prepariamo ad affrontare ARCH e GARCH nelle prossime. In questo modo costruiremo una strategia di trading di base orientata al lungo termine, fondata sulla previsione dei rendimenti degli indici azionari.

Anche se i modelli AR, MA e ARMA non offrono grandi prestazioni nel trading, ora abbiamo una solida esperienza nella modellazione delle serie temporali.

Questo ci permette di affrontare modelli più avanzati e presenti nella letteratura accademica con una base di conoscenza utile a valutarli in modo efficace, evitando di considerarli come una “scatola nera”.

Ancora più importante, ci sentiamo pronti a modificarli ed estenderli con consapevolezza, sapendo esattamente cosa stiamo facendo!

Vi ringraziamo per aver seguito fin qui con pazienza, anche se può sembrare che queste lezioni si allontanino dall’azione concreta del trading. Tuttavia, sappiamo bene che la ricerca nel trading quantitativo richiede attenzione, rigore e molto tempo per raggiungere risultati validi. Non esistono scorciatoie o “schemi per arricchirsi” nel trading quantitativo.

Ora siamo quasi pronti a considerare il nostro primo modello di trading, che combinerà ARIMA e GARCH. Per questo, dedichiamo il tempo necessario a comprendere a fondo il modello ARIMA.

Dopo aver costruito il nostro primo modello, analizzeremo approcci più avanzati come i processi a memoria lunga, i modelli nello spazio degli stati (come il filtro di Kalman) e i modelli Vector Autoregressive (VAR), fondamentali per strategie di trading sofisticate.

Modello Autoregressivo Integrato a Media Mobile (ARIMA) di ordine p, d, q

Fondamento logico

Utilizziamo i modelli ARIMA per trasformare serie non stazionarie in stazionarie attraverso una serie di differenziazioni.

Come abbiamo descritto nella lezione sul rumore bianco e le passeggiate casuali, quando applichiamo l’operatore differenziale a una serie \(\{x_t \}\) otteniamo il rumore bianco \(\{w_t \}\):

\(\begin{eqnarray} \nabla x_t = x_t – x_{t-1} = w_t \end{eqnarray}\)

Il modello ARIMA applica questa operazione ripetutamente, d volte, per ottenere una serie stazionaria.

Per affrontare altre forme di non stazionarietà, oltre alle tendenze stocastiche, possiamo utilizzare modelli aggiuntivi.

Ad esempio, gestiamo la stagionalità con il modello SARIMA, mentre affrontiamo l’eteroschedasticità condizionale, come la volatilità aggregata negli indici azionari, con i modelli ARCH/GARCH.

In questa lezione analizziamo le serie non stazionarie con tendenze stocastiche, adattiamo i modelli ARIMA a queste serie e otteniamo previsioni per i dati finanziari.

Definizioni

Prima di definire il modello ARIMA, introduciamo il concetto di serie integrata:

Serie integrata di ordine d
Una serie \(\{x_t \}\) è integrata di ordine \(I(d)\) se:

\(\begin{eqnarray}\nabla^d x_t = w_t \end{eqnarray}\)

Cioè, se differenziamo la serie d volte otteniamo una serie di rumore bianco.

In alternativa, utilizzando l’operatore di spostamento all’indietro B:

\(\begin{eqnarray}(1-{\bf B}^d) x_t = w_t \end{eqnarray} \)

Ora possiamo definire il modello ARIMA:

Modello Autoregressivo Integrato a Media Mobile di ordine p, d, q
Una serie \(\{x_t \}\) segue un modello ARIMA(p,d,q) se \(\nabla^d x_t\) segue un processo ARMA(p,q).

In altre parole, se differenziamo la serie d volte e otteniamo un processo ARMA(p,q), allora abbiamo un modello ARIMA(p,d,q).

Con la notazione polinomiale per il modello AR e il modello MA, possiamo scrivere ARIMA(p,d,q) con l’operatore B:

\(\begin{eqnarray}\theta_p({\bf B})(1-{\bf B})^d x_t = \phi_q ({\bf B}) w_t\end{eqnarray}\)

Dove \(w_t\) è una serie di rumore bianco.

Notiamo alcuni aspetti importanti di queste definizioni.

Poiché la passeggiata casuale è data da \(x_t = x_{t-1} + w_t\), possiamo vedere che \(I(1)\) rappresenta una differenziazione prima, cioè \(\nabla^1 x_t = w_t\).

Quando sospettiamo una tendenza non lineare, applichiamo differenziazioni multiple (es. \(d > 1\)) per trasformare la serie in rumore bianco stazionario.

In Python possiamo usare il comando diff della libreria Pandas, specificando parametri come l’intervallo, per differenziare ripetutamente.

Simulazione, Correlogramma e Model Fitting

Applichiamo una procedura simile a quella descritta nella lezione sul modello ARMA. La differenza principale sta nell’impostare \(d=1\), per ottenere una serie non stazionaria con una componente di trend stocastico.

Adattiamo un modello ARIMA ai nostri dati simulati, stimiamo i parametri, calcoliamo intervalli di confidenza, produciamo un correlogramma dei residui del modello e infine eseguiamo il test di Ljung-Box per valutare la bontà dell’adattamento.

Simuliamo un modello ARIMA(1,1,1), con il coefficiente autoregressivo \(\alpha=0.6\) e il coefficiente di media mobile \(\beta=-0.5\). Di seguito il codice Python per simulare e tracciare questa tipologia di serie: