In questa prima lezione del corso sul “Calcolo stocastico per la finanza quantitativa” introduciamo i concetti matematici e le proprietà alla base del calcolo stocastico.
Introduzione
Il calcolo stocastico è l’area della matematica che si occupa dei processi contenenti una componente casuale. In questo modo possiamo modellare i sistemi incerti o imprevedibili. Molti di questi processi si basano su funzioni continue ma non differenziabili in nessun punto. Non possiamo quindi applicare le equazioni differenziali classiche, che richiedono la presenza di derivate ben definite.
Di conseguenza, è necessaria una teoria alternativa dell’integrazione che permetta l’uso di equazioni integrali. Un approccio per aggirare l’impossibilità di calcolare derivate su funzioni irregolari. In ambito finanziario, questa teoria prende il nome di Ito Calculus, dal matematico giapponese Kiyosi Itō.
Il calcolo stocastico è uno strumento cruciale per modellare l’evoluzione dei prezzi di strumenti finanziari nel tempo. Specialmente quando si tratta di incorporare l’incertezza e la volatilità del mercato. In particolare, la modellizzazione dei movimenti dei prezzi si fonda sul moto browniano.
Il moto browniano è un processo casuale continuo che descrive l’andamento erratico e imprevedibile di particelle in sospensione in un fluido. Viene adattato ai mercati finanziari sotto forma di moto browniano geometrico.
Il modello Black-Scholes e il processo di Wiener
L’applicazione principale del calcolo stocastico in finanza è nella modellazione del movimento casuale del prezzo di un’attività secondo il modello di Black-Scholes. Questo modello assume che i prezzi degli asset seguano un moto browniano geometrico, rappresentato tramite un processo di Wiener. Il processo di Wiener è alla base delle equazioni differenziali stocastiche (SDE).
Sebbene si parli di equazioni differenziali, esse sono in realtà formulate come equazioni integrali, a causa dell’impossibilità di derivare funzioni irregolari come quelle generate da un moto browniano. L’approccio Black-Scholes consente di determinare il valore equo delle opzioni finanziarie partendo dalla dinamica stocastica del prezzo dell’asset sottostante.
Tuttavia, per arrivare a questo modello continuo, si può iniziare anche da una rappresentazione discreta tramite il modello binomiale. Questo modello rappresenta una serie finanziaria come un processo binario, semplificato ma efficace. Lo strumento matematico cruciale per passare dal modello binomiale a quello continuo è il Lemma di Ito, Un risultato fondamentale del calcolo stocastico che consente di generalizzare la regola della catena al caso stocastico.
Lemma di Ito e derivazione della formula di Black-Scholes
Il Lemma di Ito costituisce la pietra angolare del calcolo stocastico, in quanto rappresenta l’equivalente stocastico della regola della catena del calcolo differenziale ordinario. Questo lemma permette di trattare derivate di funzioni che dipendono da variabili aleatorie, le quali evolvono secondo un moto browniano.
La derivata di una funzione stocastica presenta due componenti: una deterministica e una casuale, quest’ultima con distribuzione normale. Nella derivazione della formula di Black-Scholes, si presuppone che il prezzo dell’asset non possa mai diventare negativo, ipotesi valida per titoli azionari. Poiché un moto browniano standard consente anche valori negativi, viene adottato un moto browniano geometrico. Questo garantisce la positività del prezzo tramite l’uso del logaritmo.
A partire da questa dinamica, si costruisce un’equazione differenziale stocastica per il prezzo dell’asset e la si risolve per ottenere l’evoluzione temporale del prezzo. Per valutare strumenti finanziari derivati come le opzioni, si considera un portafoglio che elimina il rischio stocastico attraverso la cancellazione delle componenti aleatorie. Questo porta a un’equazione deterministica che consente la valutazione senza arbitraggio di opzioni europee.
La teoria della non arbitraggiosità e la costruzione del portafoglio replicante
Nel contesto della valutazione delle opzioni, un concetto fondamentale è quello della non arbitraggiosità, che afferma che non devono esistere opportunità di guadagno certo senza rischio. Per rispettare questa condizione, si costruisce un portafoglio replicante. Questo portafoglio composto da una combinazione di asset sottostanti e strumenti derivati, in modo da replicare esattamente il payoff dell’opzione.
Una volta costruito il portafoglio, le componenti casuali possono essere eliminate, permettendo di trattare l’equazione risultante come puramente deterministica. Questo approccio consente di utilizzare metodi analitici per ricavare la formula di Black-Scholes.
Questa formula fornisce il prezzo teorico di un’opzione call europea in funzione del tempo alla scadenza, del prezzo dell’asset, del tasso d’interesse privo di rischio e della volatilità. Il risultato rappresenta uno dei più grandi successi del calcolo stocastico applicato alla finanza e ha rivoluzionato il modo in cui vengono valutati i derivati, ponendo le basi per la finanza quantitativa moderna.
Le proprietà stocastiche fondamentali: Markov e Martingala
Per fondare rigorosamente il modello del moto browniano utilizzato nella finanza, è essenziale introdurre due proprietà matematiche fondamentali dei processi stocastici: la proprietà di Markov e la proprietà di Martingala. La proprietà di Markov stabilisce che l’evoluzione futura di un processo dipende solo dal suo stato attuale e non dalla sequenza di eventi precedenti: si dice che il processo “non ha memoria”.
In termini probabilistici, questo implica che la distribuzione condizionata degli stati futuri è indipendente dal passato, dato il presente. La proprietà di Martingala, invece, afferma che l’aspettativa condizionata di un processo stocastico al tempo futuro, dato tutto il passato, è pari al valore attuale.
Queste due proprietà, insieme, forniscono una base teorica per modellare il comportamento del prezzo di un asset nel tempo. come un processo casuale coerente con l’assenza di arbitraggio e la razionalità degli agenti di mercato. Tutti i modelli finanziari realistici che impiegano il calcolo stocastico si fondano su queste caratteristiche.
La proprietà di Markov
Un’introduzione semplice ma efficace alla proprietà di Markov si ottiene considerando una sequenza di variabili casuali \(Z_i\), ciascuna delle quali può assumere il valore 1 o -1, rappresentando un lancio di una moneta. L’aspettativa di ciascuna variabile è nulla, e le variabili sono incorrelate tra loro.
Calcolando le somme parziali di questi lanci, indicate con \(S_i\), si ottiene un processo stocastico simile a un random walk. L’aspettativa delle somme parziali resta nulla, e la loro varianza cresce linearmente nel tempo. Queste caratteristiche mostrano chiaramente l’assenza di memoria. I valore atteso della prossima somma parziale dipende solo dall’attuale, non dai valori passati.
L’aspettativa condizionata del valore futuro, data la sequenza passata, è uguale al valore presente, confermando la proprietà di Markov. Questo semplice modello è il primo passo verso la comprensione del moto browniano, che può essere visto come il limite continuo di una sequenza di passeggiate aleatorie discrete.
La proprietà di Martingala
Accanto alla proprietà di Markov, la proprietà di Martingala gioca un ruolo cruciale nella modellazione dei processi stocastici in finanza. Essa stabilisce che, dato il passato del processo, il miglior predittore del valore futuro è il valore attuale. In altre parole, il processo non mostra alcuna tendenza sistematica verso l’alto o il basso: è un modello di gioco equo.
Applicando questo concetto alle somme parziali \(S_i\) del lancio di moneta, otteniamo che l’aspettativa condizionata di \(S_i\), data tutta l’informazione fino a un tempo precedente \(S_k\), è proprio \(S_k\). Questa proprietà elimina la possibilità di guadagni sistematici sfruttando l’informazione passata.
Questi concetti di Markov e Martingala sono fondamentali per la definizione formale del moto browniano, che rappresenta il cuore matematico della teoria dei prezzi degli asset. Una comprensione profonda di queste proprietà è essenziale per costruire modelli finanziari solidi e coerenti con l’osservazione empirica dei mercati.
Conclusione
Il calcolo stocastico rappresenta uno strumento essenziale per la modellazione dei mercati finanziari, grazie alla sua capacità di descrivere l’evoluzione incerta dei prezzi degli asset. Abbiamo introdotto i concetti fondamentali come il moto browniano, le equazioni differenziali stocastiche, il Lemma di Itô e le proprietà di Markov e Martingala. Questi concetti sono alla base di modelli come quello di Black-Scholes, che hanno rivoluzionato il modo in cui comprendiamo e valutiamo strumenti derivati.
L’approccio stocastico consente di affrontare l’incertezza intrinseca nei mercati, fornendo modelli più realistici rispetto a quelli deterministici. Tuttavia, è importante sottolineare che, nonostante l’eleganza matematica, ogni modello è una semplificazione della realtà. Ogni modello deve essere utilizzato con consapevolezza delle sue assunzioni e dei suoi limiti.
Nelle prossime lezioni descriviamo come applicare questi concetti alle serie temporali dei mercati finanziari. L’integrazione del calcolo stocastico con dati empirici e tecniche numeriche rappresenta oggi una direzione fondamentale nella ricerca e nell’applicazione della finanza quantitativa moderna.