Dopo aver introdotto i concetti di moto browniano, equazioni differenziali stocastiche e moto browniano geometrico, in questa lezione approfondiamo il Lemma di Ito e l’equazione di Black-Scholes. Queste tecniche ci permettono di modellare il comportamento delle serie temporali degli asset finanziari.
Consideriamo il Lemma di Ito come una componente chiave del calcolo stocastico, utile per determinare la derivata di una funzione che dipende dal tempo di un processo stocastico. Il Lemma svolge il ruolo della regola della catena in un contesto stocastico, analogo alla regola della catena nel calcolo differenziale ordinario. Questo risultato rappresenta un fondamento della finanza quantitativa ed è essenziale per derivare l’equazione di Black-Scholes per il pricing delle opzioni (crediti contingenti).
La regola della catena
Nel calcolo differenziale ordinario utilizziamo la regola della catena come uno degli strumenti fondamentali. Questa ci consente di calcolare la derivata di una funzione composta. Formalmente, se \(W(t)\) è una funzione continua e:
\(\begin{eqnarray*} d W(t) = \mu (W(t),t) dt \end{eqnarray*}\)
Allora la regola della catena diventa:
\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t))) = f'(W(t)) \mu (W(t), t) dt \end{eqnarray*}\)
Quando \(f\) dipende anche direttamente da \(t\), includiamo termini aggiuntivi e derivate parziali. In questo caso, la regola della catena assume la forma:
\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \left(\frac{\partial f}{\partial w}(W(t),t) \mu(W(t), t) + \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)\right) dt \end{eqnarray*}\)
Per modellare correttamente la distribuzione lognormale del prezzo di un’attività, adottiamo una versione stocastica della regola della catena e risolviamo un’equazione differenziale stocastica che rappresenta il moto browniano geometrico.
Procediamo quindi estendendo in modo corretto la versione ordinaria della regola della catena per affrontare le variabili casuali.
Lemma di Ito
Supponiamo che \(B(t)\) sia un moto browniano e \(W(t)\) un processo di Ito a diffusione e deriva che soddisfa l’equazione differenziale stocastica:
\(\begin{eqnarray*} dW(t) = \mu(W(t),t)dt + \sigma(W(t),t)dB(t) \end{eqnarray*}\)
Se \(f(w, t) \in C^2(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})\), allora anche \(f(W(t), t)\) è un processo di Ito a diffusione e deriva, e il suo differenziale è:
\(\begin{eqnarray*} d(f(W(t),t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(W(t),t)dt + f'(W(t),t)dW + \frac{1}{2}f”(W(t),t)dW(t)^2 \end{eqnarray*}\)
Con \(dW(t)^2\) che soddisfa: \(dt^2 = 0\), \(dt\,dB(t) = 0\), e \(dB(t)^2 = dt\).
Ora che abbiamo derivato il Lemma di Ito, possiamo ricavare l’equazione di Black-Scholes.
Equazione di Black-Scholes
Supponiamo di valutare un’opzione europea vanilla \(C\) su un asset \(S\) che evolve nel tempo fino alla scadenza \(T\). Assumiamo che \(S\) segua un moto browniano geometrico con tasso medio \(\mu\) e volatilità \(\sigma\). Il parametro \(r\) rappresenta il tasso di interesse privo di rischio a capitalizzazione continua. I parametri \(r\), \(\mu\) e \(\sigma\) restano costanti nel tempo e indipendenti dal prezzo dell’asset.
Poiché il prezzo dell’opzione \(C\) dipende dal tempo \(t\) e dal prezzo dell’asset \(S\), adottiamo la notazione \(C = C(S, t)\). In questa fase assumiamo che \(C\) esista e sia ben definita; dimostreremo successivamente che tale assunzione è giustificata.
Applichiamo il Lemma di Ito alla funzione \(C(S, t)\) per ottenere una SDE:
\(\begin{eqnarray} dC = \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)dS^2 \end{eqnarray}\)
Descriviamo il prezzo dell’asset con un moto browniano geometrico, espresso come segue. Ricordiamo che \(\mu\) e \(\sigma\) sono costanti, indipendenti da \(S\) e \(t\):
\(\begin{eqnarray} dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t) dX(t) \end{eqnarray}\)
Sostituiamo questa espressione nel Lemma di Ito e otteniamo:
\(\begin{eqnarray} dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt + \sigma S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) dX \end{eqnarray}\)
Delta-Hedging
Affermiamo ora che un portafoglio completamente coperto, senza rischi, cresce al tasso privo di rischio. Per verificarlo, analizziamo come evolve nel tempo una combinazione di un’opzione call e una quantità \(\Delta\) dell’asset. Scriviamo:
\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t} (S,t) + \mu S \frac{\partial C}{\partial S} (S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) + \Delta \mu S\right) dt + \Delta S \left(\frac{\partial C}{\partial S}+\Delta\right) dX \end{eqnarray*}\)
Scegliamo \(\Delta\) in modo da eliminare il termine casuale. Ponendo \(\Delta = -\frac {\partial C} {\partial S} (S, t)\) otteniamo:
\(\begin{eqnarray*} d(C+\Delta S) = \left(\frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t)\right)dt \end{eqnarray*}\)
Trascuriamo per ora la questione relativa alla derivata di \(\Delta\); la riprenderemo più avanti.
Questa tecnica, nota come Delta-Hedging, ci consente di costruire un portafoglio privo di casualità. In tal modo, applichiamo il principio secondo cui il portafoglio dovrebbe crescere al tasso privo di rischio. Diversamente, avremmo un’opportunità di arbitraggio. Quindi, il tasso di crescita del portafoglio coperto in delta deve uguagliare il tasso \(r\). Scriviamo allora:
\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t}(S,t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(S,t) = r\left(C-S\frac{\partial C}{\partial S}\right) \end{eqnarray*}\)
Formula di Black-Scholes
Riorganizzando l’equazione e usando una notazione abbreviata, arriviamo alla famosa equazione di Black-Scholes per il valore dell’opzione:
\(\begin{eqnarray*} \frac{\partial C}{\partial t} + rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} – rC = 0 \end{eqnarray*}\)
Anche se abbiamo derivato l’equazione, non abbiamo ancora definito le condizioni per ottenere una soluzione unica. Si tratta di un’equazione differenziale parziale lineare del secondo ordine, e senza condizioni al contorno (come il payoff dell’opzione), non possiamo risolverla.
Adottiamo il payoff di un’opzione call europea con strike \(K\), che alla scadenza \(T\) ha il seguente valore:
\(\begin{eqnarray*} C(S,T)=\max(S-K,0) \end{eqnarray*}\)
Ora possiamo risolvere l’equazione di Black-Scholes.
Conclusione
Abbiamo esaminato il Lemma di Ito come fondamento essenziale del calcolo stocastico applicato alla finanza quantitativa. La sua applicazione ci permette di estendere la regola della catena ai processi aleatori continui.
Questo ci ha consentito di modellare correttamente asset soggetti a incertezza attraverso il moto browniano geometrico. Con queste basi, abbiamo derivato l’equazione di Black-Scholes per il pricing delle opzioni europee.
Abbiamo mostrato come eliminare il rischio tramite la costruzione di un portafoglio delta-hedged.
Da questa condizione di assenza di arbitraggio, segue direttamente l’equazione differenziale di Black-Scholes. Infine, abbiamo discusso l’importanza delle condizioni al contorno per ottenere una soluzione ben definita.
Questi strumenti formano il nucleo teorico dei modelli quantitativi usati nei mercati finanziari moderni.