Dopo aver introdotto i concetti base del calcolo stocastico nella finanza quantitativa, in questa lezione esploriamo il moto browniano e il suo corrispettivo matematico, il processo di Wiener. Inoltre approfondiamo le equazioni differenziali stocastiche e il moto browniano
i Dimostriamo come un movimento browniano standard non basti a descrivere i movimenti dei prezzi degli asset e perché occorra introdurre un movimento browniano geometrico.
Il Moto Browniano
Nella lezione precedente sulle proprietà di Markov e Martingala, abbiamo analizzato un esperimento discreto di lancio della moneta, con un numero arbitrario di fasi temporali. Ora puntiamo a costruire una passeggiata casuale a tempo continuo, così da ottenere un modello più sofisticato per il prezzo degli asset, che varia nel tempo. Per raggiungere questo obiettivo, aumentiamo il numero di fasi temporali, ma in modo specifico, così da evitare risultati infiniti e privi di significato.
Consideriamo un intervallo di tempo reale continuo \([0, T]\), con \(T > 0\). All’interno di questo intervallo, effettuiamo \(N\) lanci di moneta, ognuno dei quali impiega un tempo pari a \(T / N\), risultando così equidistanti. Allo stesso tempo, modifichiamo il risultato di ogni singolo lancio.
Definiamo la sequenza di variabili casuali discrete che rappresentano il lancio della moneta come \(Z_i \in \{-1, 1\}\). Costruiamo poi un’ulteriore sequenza \(\tilde{Z}_i \in \{\sqrt{T / N}, – \sqrt{T / N} \}\). Usiamo questa nuova sequenza per ottenere una variazione quadratica ben definita del processo di lancio.
La variazione quadratica di una sequenza di variabili casuali si ottiene sommando le differenze al quadrato tra i termini successivi:
\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 \end{eqnarray*}\)
Per la sequenza \(Z_i\), otteniamo:
\(\begin{eqnarray*} \sum^i_{k=1}\left(S_k-S_{k-1}\right)^2 = i \end{eqnarray*}\)
Per la sequenza modificata \(\tilde{Z}_i\), la variazione quadratica delle somme parziali \(\tilde{S}_i\) risulta:
\(\begin{eqnarray*} \sum^N_{k=1}\left(\tilde{S}_k-\tilde{S}_{k-1}\right)^2 = N \times \left(\sqrt{\frac{T}{N}}\right)^2 = T \end{eqnarray*}\)
Quindi, per costruzione, la variazione quadratica del lancio modificato \(\tilde{Z}_i\) corrisponde alla durata complessiva dei lanci, ovvero \(T\).
Il processo di Wiener
Conserviamo sia la proprietà di Markov che quella di Martingala nella sequenza \(\tilde{Z}_i\). Quando \(N \rightarrow \infty\), la passeggiata casuale non diverge. Se indichiamo con \(S(t)\) il valore dell’asset al tempo \(t \in [0, T]\), con \(S(0) = 0\), allora l’aspettativa condizionata di \(S(T)\) è \(\mathbb{E}(S(T)) = 0\) e la varianza risulta \(\mathbb{E}(S(T)^2) = T\).
Pur senza approfondire i dettagli tecnici, quando il numero di passaggi \(N\) tende all’infinito, otteniamo il processo di Wiener, conosciuto anche come moto browniano standard, indicato con \(B(t)\). Lo definiamo formalmente nel modo seguente:
Definizione (processo di Wiener / moto browniano standard)
Una sequenza di variabili casuali \(B(t)\) rappresenta un moto browniano se \(B(0) = 0\), e per ogni coppia \(s < t\), \(B(t) – B(s)\) segue una distribuzione normale con varianza \(t – s\), indipendente da \(B(r)\) per ogni \(r \leq s\).
Proprietà del moto browniano
Il moto browniano standard possiede diverse proprietà interessanti:
- Restiamo in un intervallo finito. Abbiamo costruito \(\tilde{Z}_i\) in modo tale che, nel limite per \(N\) grande, \(B\) risulti finito e non nullo.
- Otteniamo variazioni illimitate. Se trasformassimo ogni variazione negativa in positiva, \(B\) divergerebbe in un tempo arbitrariamente breve.
- Generiamo traiettorie continue. Sebbene ogni moto browniano risulti continuo ovunque, non risulta differenziabile in alcun punto. Questa caratteristica frattale implica precise scelte computazionali nel trattarlo.
- Verifichiamo sia la proprietà di Markov che quella di Martingala. La distribuzione condizionale di \(B(t)\), data l’informazione fino a \(s < t\), dipende solo da \(B(s)\), e l’aspettativa condizionata risulta \(B(s)\).
- Osserviamo una forte normalità nella distribuzione. Per ogni \(s < t\) appartenenti a \([0, T]\), la differenza \(B(t) – B(s)\) segue una distribuzione normale con media zero e varianza \(t – s\).
Notiamo che questa ultima proprietà differisce da dire che \(B(t)\) sia distribuito normalmente con media zero e varianza \(t\), affermazione più debole.
I moti browniani rappresentano una componente essenziale nella formulazione delle equazioni differenziali stocastiche, che a loro volta permettono di derivare la celebre equazione di Black-Scholes per il pricing dei derivati contingenti.
Pur mantenendo la natura stocastica del moto browniano nei nostri modelli, dobbiamo regolare con precisione la modalità con cui introduciamo la casualità. A questo punto introduciamo il concetto di moto browniano geometrico (GBM), utile per evitare l’assegnazione di prezzi azionari negativi.
Prima di trattare il moto browniano geometrico, approfondiamo il concetto di equazione differenziale stocastica (SDE). Questo passaggio ci permette di formulare il GBM e risolverlo, così da ottenere una funzione esplicita per il percorso del prezzo dell’asset.
Equazioni differenziali stocastiche
Ora possiamo usare il moto browniano come elemento base per costruire le equazioni differenziali stocastiche (SDE). Ci serviamo delle SDE per descrivere il comportamento delle funzioni \(f=f(S)\) e delle loro derivate rispetto a \(S\), dove \(S\) rappresenta il prezzo di un titolo azionario influenzato da un moto browniano.
Nel contesto stocastico, alcune regole del calcolo ordinario non funzionano come ci aspettiamo. Le modifichiamo per includere sia la natura casuale del moto browniano sia la sua non differenziabilità. Iniziamo con gli integrali stocastici, che ci conducono in modo naturale al concetto di SDE.
Definizione (integrale stocastico)
Definiamo un integrale stocastico della funzione \(f = f(t)\) come una funzione \(W = W(t)\), \( t \in[0, T] \) data da:\(\begin{eqnarray*} W(t) = \int^t_0 f(s) dB(s) = \lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^N f(t_{k-1})\left(B(t_k)-B(t_{k-1})\right) \end{eqnarray*}\)
dove \(t_k = \frac{kt}{N}\).
Notiamo che la funzione \(f\) non è anticipante, nel senso che non dipende dalla storia futura del processo di Wiener. Quindi non possiede informazioni sui valori futuri della variabile casuale in \(X(t_k)\). Se \(f\) rappresentasse un’allocazione di portafoglio basata su \(B\) e la valutassimo a \(t_k\) invece che a \(t_{k-1}\), anticiperemmo il futuro e modificheremmo il portafoglio in modo strategico.
L’espressione di \(W(t)\) che abbiamo indicato è un’integrale ben definito anche per la variabile non differenziabile \(B(t)\), grazie alla finitezza e alle proprietà di media e varianza. Tuttavia, desideriamo riscriverla in forma differenziale:
\(\begin{eqnarray*} dW = f(t)dB \end{eqnarray*}\)
Questa è una notazione abbreviata della forma integrale. Infatti, per isolare \(dB\) servirebbe definire \(\frac{dW}{dB}\), un operatore differenziale su una funzione non regolare come \(W\).
Definizione
Consideriamo \(dB\) come una variabile casuale distribuita normalmente con media zero e varianza \(dt\). La definizione formale è la seguente:
Definizione (equazione differenziale stocastica)
Sia \(B(t)\) un moto browniano. Se \(W(t)\) è una sequenza di variabili casuali tale che per ogni \(t\),\(\begin{eqnarray*} W(t+\delta t)-W(t)-\delta t \mu (t, W(t)) – \sigma(t, B(t)) (B(t+\delta t)-B(t)) \end{eqnarray*}\)
rappresenta una variabile casuale con media e varianza pari a \(o(\delta t)\), allora:
\(\begin{eqnarray*} d W = \mu(t, W(t)) dt + \sigma(t, W(t)) dB \end{eqnarray*}\)
costituisce un’equazione differenziale stocastica per \(W(t)\).
Classifichiamo la sequenza di variabili casuali descritta come processo di diffusione di deriva Ito, o semplicemente processo Ito o processo stocastico.
Osserviamo che \(\mu\) e \(\sigma\) dipendono entrambe da \(t\) e \(W\). Interpretiamo \(\mu\) come coefficiente di deriva non stocastica, mentre \(\sigma\) funge da coefficiente di volatilità, moltiplicando il termine stocastico \(dB\). Le equazioni differenziali stocastiche combinano così una componente deterministica e una componente stocastica.
Moto Browniano Geometrico
Il modello usuale per l’evoluzione temporale del prezzo di un asset \(S(t)\) è dato dal moto browniano geometrico, rappresentato dalla seguente equazione differenziale stocastica:
\(\begin{eqnarray*} dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dB(t) \end{eqnarray*}\)
Notare che i coefficienti \(\mu\) e \(\sigma\), che rappresentano rispettivamente la deriva e la volatilità dell’asset, sono entrambi costanti in questo modello. In modelli più sofisticati possono essere fatti per essere funzioni di \(t\), \(S(t)\) e altri processi stocastici.
La soluzione \(S(t)\) può essere trovata applicando il Lemma di Ito all’equazione differenziale stocastica.
Dividendo per \(S(t)\) nell’equazione precedente si ottiene:
\(\begin{eqnarray*} \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)
Si noti che il lato sinistro di questa equazione è simile alla derivata di \(\log S (t)\). Applicando il Lemma di Ito a \(\log S(t)\) si ottiene:
\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = (log S(t))’ \mu S(t) dt + (log S(t))’ \sigma S(t) dB(t) + \frac{1}{2}(log S(t))” \sigma^2 S(t)^2 dt \end{eqnarray*}\)
Questo diventa:
\(\begin{eqnarray*} d(log S(t)) = \mu dt + \sigma dB(t) – \frac{1}{2}\sigma^2 dt = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)dt + \sigma dB(t) \end{eqnarray*}\)
Questo è un processo di Ito di diffusione della deriva.
Definizione
È un moto browniano standard con un termine di deriva. Poiché la formula precedente è semplicemente una scorciatoia per una formula integrale, possiamo scriverla come
\(\begin{eqnarray*} log(S(t)) – log(S(0)) = \left(\mu – \frac{1}{2} \sigma^2 \right)t + \sigma B(t) \end{eqnarray*}\)
Infine, prendendo l’esponenziale di questa equazione si ottiene:
\(\begin{eqnarray*} S(t) = S(0) \exp \left(\left(\mu – \frac{1}{2}\sigma^2\right)t + \sigma B(t)\right) \end{eqnarray*}\)
Questa è la soluzione dell’equazione differenziale stocastica. Infatti è una delle poche soluzioni analitiche ottenibili dalle equazioni differenziali stocastiche.
Conclusione
Dopo aver introdotto il moto browniano e le equazioni differenziali stocastiche e il moto browniano geometrico, nella prossima lezione descriviamo il Lemma di Ito e l’equazione di Black-Scholes per modellare il comportamento dei prezzi degli asset.