Hedge Ratio Dinamico tra ETF con il Filtro di Kalman

In questa lezione esploriamo come applicare il filtro di Kalman per stimare l’hedge ratio dinamico tra ETF. A questo scopo utilizziamo la libreria pykalman di Python, così da stimare dinamicamente la pendenza e l’intercetta — e quindi il rapporto di copertura — tra una coppia di ETF.

Il filtro di Kalman ci consente di svolgere proprio questa operazione. Nella lezione precedente abbiamo analizzato a fondo il filtro di Kalman e il suo utilizzo come processo di aggiornamento bayesiano.

Introduzione

Nel trading quantitativo possiamo analizzare due asset cointegrati e utilizzare un approccio mean-reverting per costruire una strategia operativa. Per farlo, eseguiamo una regressione lineare tra i due asset (come due ETF) e sfruttiamo i coefficienti stimati per determinare le quantità con cui assumere posizioni long e short entro specifiche soglie.

Una sfida importante in questa strategia è la variazione nel tempo dei parametri strutturali, come hedge ratio dinamico tra ETF. Poiché questi parametri evolvono durante il ciclo della strategia, risulta utile adottare un meccanismo che aggiorni dinamicamente l’hedge ratio per migliorarne la redditività.

Per affrontare questo problema, possiamo adottare una regressione lineare mobile su una finestra temporale che si aggiorna a ogni nuova barra. Così facendo, i coefficienti di pendenza e intercetta seguono l’evoluzione della relazione di cointegrazione. Tuttavia, in questo modo introduciamo un nuovo parametro — la lunghezza della finestra — che dobbiamo ottimizzare, ad esempio tramite cross-validation.

Un’alternativa più avanzata prevede l’uso di un modello dello spazio degli stati. In questo schema consideriamo il “vero” rapporto di copertura come una variabile nascosta e stimiamo il suo valore attraverso osservazioni rumorose, ossia i prezzi degli asset.

Breve riepilogo del filtro di Kalman

Nella lezione precedente abbiamo già illustrato le basi matematiche e le formule del filtro di Kalman. Qui ne riassumiamo i concetti chiave.

Usiamo un modello dello spazio degli stati con due equazioni matriciali. La prima, detta equazione di stato o di transizione, descrive l’evoluzione delle variabili di stato \(\theta_t\) nel tempo. La matrice di transizione \(G_t\) e il rumore di sistema \(w_t\), entrambi variabili nel tempo, modellano questa dinamica:

\(\begin{eqnarray}\theta_t = G_t \theta_{t-1} + w_t\end{eqnarray}\)

Poiché gli stati risultano spesso non osservabili, lavoriamo sulle osservazioni \(y_t\), definite da un’equazione che combina una parte deterministica, data dalla matrice di osservazione \(F_t\), e un rumore di misura \(v_t\):

\(\begin{eqnarray}y_t = F_t \theta_t + v_t \end{eqnarray}\)

Per un approfondimento sul modello dello spazio degli stati e sul filtro di Kalman, rimandiamo alla lezione precedente.

Incorporare la regressione lineare in un filtro di Kalman

A questo punto ci chiediamo come sfruttare il modello dello spazio degli stati per integrare una regressione lineare.

Come descritto nella lezione sul MLE per la regressione lineare, una regressione multipla prevede che l’output \(y\) sia funzione lineare degli input \(x\):

\(\begin{eqnarray}y({\bf x}) = \beta^T {\bf x} + \epsilon\end{eqnarray}\)

dove \(\beta^T = (\beta_0, \beta_1, \ldots, \beta_p)\) rappresenta il vettore dei coefficienti (intercetta \(\beta_0\) e pendenze \(\beta_i\)) e \(\epsilon \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\) è il termine di errore.

Nel nostro contesto unidimensionale, possiamo riscrivere \(\beta^T = (\beta_0, \beta_1)\) e \({\bf x} = \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix}\).

Consideriamo gli stati nascosti del sistema come il vettore \(\beta^T\), cioè l’intercetta e la pendenza. Supponiamo che i valori di domani siano uguali a quelli di oggi più un rumore casuale: questo li rende una passeggiata casuale, come descritto nella lezione sul rumore bianco e le passeggiate casuali:

\(\begin{eqnarray}\beta_{t+1} ={\bf I} \beta_{t} + w_t\end{eqnarray}\)

In questo caso, impostiamo la matrice di transizione \(G_t\) come matrice identità bidimensionale \({\bf I}\), completando così la metà del modello. A questo punto scegliamo uno degli ETF come osservazione e iniziamo ad applicare il filtro.